如圖,邊長為a的正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上,且,將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起,使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)
,連結(jié)A¢B.
(Ⅰ)判斷直線EF與A¢D的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅱ)求二面角F-A¢B-D的大小.
(Ⅰ)異面垂直;(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)先證明A¢D⊥面A¢EF即可得EF與A¢D的位置關(guān)系是異面垂直;
(Ⅱ)先作出并證明ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角,再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
試題解析:(Ⅰ)A¢D⊥EF. 1分
證明如下:因?yàn)锳¢D⊥A¢E,A¢D⊥A¢F,
所以A¢D⊥面A¢EF,又EFÌ面A¢EF,
所以A¢D⊥EF.直線EF與A¢D的位置關(guān)系是異面垂直 4分
(Ⅱ)方法一、設(shè)EF、BD相交于O,連結(jié)A¢O,作FH⊥A¢B于H,
連結(jié)OH, 因?yàn)镋F⊥BD, EF⊥A¢D.
所以EF⊥面A¢BD,A¢BÌ面A¢BD, 所以A¢B⊥EF,又A¢B⊥FH,
故A¢B⊥面OFH,OHÌ面OFH, 所以A¢B⊥OH,
故ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角.,A¢E=A¢F=
,EF=
,則
,
所以,△A¢EF是直角三角形,則,
則,
,∴
,
,
則A¢B=,所以
,
所以, tanÐOHF=,故ÐOHF=
.
所以二面角F-A¢B-D的大小為. 12分
方法二、設(shè)EF、BD相交于O,連結(jié)A¢O,作于G,可得A¢G⊥面BEDF,
,A¢E=A¢F=
,EF=
,則
,
所以,△A¢EF是直角三角形,則,
則,則
,
∴,
,
所以,
,則
,
分別以BF、BE為空間直角坐標(biāo)系的x、y軸,建立如圖坐標(biāo)系,則,
,
,
,故
,
,
,
,
因,
,故面A¢BD的一個(gè)法向量
,
設(shè)面A¢BF的一法向量為,則
取
,
設(shè)二面角F-A¢B-D的平面角為,則
,∴
,
故二面角F-A¢B-D的大小為. 12分
考點(diǎn):1.直線與平面的位置關(guān)系; 2.二面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為AD的中點(diǎn),ABCE為菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分別是線段CE、PB的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在長方體中,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn).
(I)求證:平面
;
(II)求證:平面
;
(III)若二面角的大小為
,求
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn),P是線段AD的中點(diǎn).
(I)在平面ABC內(nèi),試做出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l,說明理由,并證明直線l⊥平面ADD1A1;
(II)設(shè)(I)中的直線l交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
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