Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB₁⊥BC₁,AB=CC₁=a,BC=b.

(1)設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點,求證:EF∥平面ABC;

(2)求證:A₁C₁⊥AB;

(3)求點B₁到平面ABC₁的距離.

Answer 1

(1)證明:∵E、F分別為AB₁、BC₁的中點,

    ∴EF∥A₁C₁.

    ∵A₁C₁∥AC,

    ∴EF∥AC.

    ∴EF∥平面ABC.

(2)證明:∵AB=CC₁,

    ∴AB=BB₁.

    又三棱柱為直三棱柱,

    ∴四邊形ABB₁A₁為正方形.

    連結(jié)A₁B,則A₁B⊥AB₁.

    又∵AB₁⊥BC₁,

    ∴AB₁⊥平面A₁BC₁.

    ∴AB₁⊥A₁C₁.

    又A₁C₁⊥AA₁,

    ∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.

    ∴A₁C₁⊥AB.

(3)解:∵A₁B₁∥AB,

    ∴A₁B₁∥平面ABC₁.

    ∴A₁到平面ABC₁的距離等于B₁到平面ABC₁的距離.

    過A₁作A₁G⊥AC₁于點G,

    ∵AB⊥平面ACC₁A₁,

    ∴AB⊥A₁G.

    從而A₁G⊥平面ABC₁,故A₁G即為所求的距離,即A₁G=.

講評:本題(3)也可用等體積變換法求解.