【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)令,討論
的單調(diào)性.
(3)當(dāng)時,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.(
為自然對數(shù)的底數(shù),
…).
【答案】(1)(2)詳見解析(3)
【解析】
(1)當(dāng)時,先對函數(shù)求導(dǎo),求得斜率,結(jié)合切點坐標(biāo),利用點斜式得到切線方程.(2)求出
的表達式,對
求得,然后將
分成
四類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)將
表達式代入原不等式并化簡,構(gòu)造函數(shù)設(shè)
利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值,令這個最小值大于零,求得
的取值范圍.
解:(1),
,
,
所以曲線在點
處的切線方程為
.
(2),定義域為
,
,
①當(dāng)時,當(dāng)
時,
,
在
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,
在
單調(diào)遞減;
②當(dāng)時,當(dāng)
或
時,
,
在
,
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,
在
單調(diào)遞減;
③當(dāng)時,
在
單調(diào)遞增;
④當(dāng)時,當(dāng)
或
時,
,
在
,
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,
在
單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時,
在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;當(dāng)
時,
在
,
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;當(dāng)
時,
在
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
在
,
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減.
(3)當(dāng)時,
,即
恒成立,
設(shè),
,
顯然在
上單調(diào)遞增,且
,所以當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.即
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
,所以
,
所以的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知梯形中,
,
,
是
的中點.
,
、
分別是
、
上的動點,且
,設(shè)
(
),沿
將梯形
翻折,使平面
平面
,如圖.
(1)當(dāng)時,求證:
;
(2)若以、
、
、
為頂點的三棱錐的體積記為
,求
的最大值;
(3)當(dāng)取得最大值時,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某保險公司有一款保險產(chǎn)品的歷史收益率(收益率利潤
保費收入)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)試估計這款保險產(chǎn)品的收益率的平均值;
(2)設(shè)每份保單的保費在20元的基礎(chǔ)上每增加元,對應(yīng)的銷量為
(萬份).從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組
與
的對應(yīng)數(shù)據(jù):
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
銷量為 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表,知與
有較強的線性相關(guān)關(guān)系,且據(jù)此計算出的回歸方程為
.
(。┣髤(shù)的值;
(ⅱ)若把回歸方程當(dāng)作
與
的線性關(guān)系,用(1)中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率,試問每份保單的保費定為多少元時此產(chǎn)品可獲得最大利潤,并求出最大利潤.注:保險產(chǎn)品的保費收入
每份保單的保費
銷量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣位于沙漠地帶,人與自然長期進行頑強的斗爭,到1998年底全縣的綠化率已達到30%。從1999年開始,每年將出現(xiàn)這樣的局面,即原有沙漠面積的16%將被綠化,與此同時,由于各種原因,原有綠化面積的4%又被沙化。
(1)設(shè)全縣面積為1,1998年底綠化總面積為,經(jīng)過n年后綠化總面積為
,求證:
。
(2)至少需要多少年的努力,才能使全縣的綠化率超過60%?(年取整數(shù),lg2=0.3010)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年消毒液和口罩成了搶手年貨,老百姓幾乎人人都需要,但對于這種口罩,大多數(shù)人不是很了解.現(xiàn)隨機抽取40人進行調(diào)查,其中45歲以下的有20人,在接受調(diào)查的40人中,對于
這種口罩了解的占
,其中45歲以上(含45歲)的人數(shù)占
.
(1)將答題卡上的列聯(lián)表補充完整;
(2)判斷是否有的把握認為對
這種口罩的了解與否與年齡有關(guān).
參考公式:,其中
.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: 的一個頂點與拋物線:
的焦點重合,
分別是橢圓的左、右焦點,離心率
,過橢圓右焦點
的直線l與橢圓C交于M、N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得 ,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知以點
為圓心的
及其上一點
.
(1)設(shè)圓與
軸相切,與圓
外切,且圓心
在直線
上,求圓
的標(biāo)準方程;
(2)設(shè)平行于的直線
與圓
相交于
兩點,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在意大利,有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛(Alberobello),這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?/span>Trullo,于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄(如圖1).現(xiàn)測量一個屋頂,得到圓錐SO的底面直徑AB長為12m,母線SA長為18m(如圖2).C,D是母線SA的兩個三等分點(點D靠近點A),E是母線SB的中點.
(1)從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶,求燈光帶的最小長度;
(2)現(xiàn)對屋頂進行加固,在底面直徑AB上某一點P,向點D和點E分別引直線型鋼管PD和PE.試確定點P的位置,使得鋼管總長度最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD為長方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取值為:①;②
;③
;④
;⑤λ=3
(1)求直線AS與平面ABCD所成角的正弦值;
(2)若線段CD上能找到點E,滿足AE⊥SE,則λ可能的取值有幾種情況?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)λ為所有可能情況的最大值時,線段CD上滿足AE⊥SE的點有兩個,分別記為E1,E2,求二面角E1-SB-E2的大小.
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