【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）令，討論的單調(diào)性.

（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（ 為自然對數(shù)的底數(shù)， …）.

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）當(dāng)時，先對函數(shù)求導(dǎo)，求得斜率，結(jié)合切點坐標(biāo)，利用點斜式得到切線方程.（2）求出的表達式，對求得，然后將分成四類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）將表達式代入原不等式并化簡，構(gòu)造函數(shù)設(shè)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，令這個最小值大于零，求得的取值范圍.

解：（1），，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2），定義域為，

，

①當(dāng)時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；

②當(dāng)時，當(dāng)或時，，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時，當(dāng)或時，，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時，，即恒成立，

設(shè)，，

顯然在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ，所以，

所以的取值范圍為.

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【題目】已知梯形中，，，是的中點.，、分別是、上的動點，且，設(shè)（），沿將梯形翻折，使平面平面，如圖.

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值.

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【題目】某保險公司有一款保險產(chǎn)品的歷史收益率（收益率利潤保費收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）試估計這款保險產(chǎn)品的收益率的平均值；

（2）設(shè)每份保單的保費在20元的基礎(chǔ)上每增加元，對應(yīng)的銷量為（萬份）．從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

元

25

30

38

45

52

銷量為（萬份）

7.5

7.1

6.0

5.6

4.8

由上表，知與有較強的線性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計算出的回歸方程為．

（�。┣髤�(shù)的值；

（ⅱ）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（1）中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問每份保單的保費定為多少元時此產(chǎn)品可獲得最大利潤，并求出最大利潤．注：保險產(chǎn)品的保費收入每份保單的保費銷量．

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【題目】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1998年底全縣的綠化率已達到30%。從1999年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。

（1）設(shè)全縣面積為1，1998年底綠化總面積為，經(jīng)過n年后綠化總面積為，求證：。

（2）至少需要多少年的努力，才能使全縣的綠化率超過60%？（年取整數(shù)，lg2=0.3010）

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【題目】今年消毒液和口罩成了搶手年貨，老百姓幾乎人人都需要,但對于這種口罩，大多數(shù)人不是很了解.現(xiàn)隨機抽取40人進行調(diào)查，其中45歲以下的有20人，在接受調(diào)查的40人中，對于這種口罩了解的占，其中45歲以上（含45歲）的人數(shù)占.

（1）將答題卡上的列聯(lián)表補充完整；

（2）判斷是否有的把握認為對這種口罩的了解與否與年齡有關(guān).

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

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【題目】設(shè)橢圓C： 的一個頂點與拋物線： 的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點的直線l與橢圓C交于M、N兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，使得 ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知以點為圓心的及其上一點.

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（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.

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【題目】在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）.現(xiàn)測量一個屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長為12m，母線SA長為18m（如圖2）.C，D是母線SA的兩個三等分點（點D靠近點A），E是母線SB的中點.

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（3）在（2）的條件下，當(dāng)λ為所有可能情況的最大值時，線段CD上滿足AE⊥SE的點有兩個，分別記為E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.

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