【題目】在平面直角坐標(biāo)系中已知橢圓過點，其左、右焦點分別為，離心率為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若A，B分別為橢圓E的左、右頂點，動點M滿足，且MA交橢圓E于點P.

（i）求證：為定值；

（ii）設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點為Q，問：直線MQ是否過定點，并說明理由.

【答案】(1) (2) （i）證明見解析，定值為4 （ii）直線過定點.

【解析】

（1）由題意得離心率公式和點滿足的方程，結(jié)合橢圓的的關(guān)系，可得，進而得到橢圓方程；
（2）（i）設(shè)，求得直線MA的方程，代入橢圓方程，解得點P的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得證；
（ii）直線MQ過定點O（0，0）．先求得PB的斜率，再由圓的性質(zhì)可得MQ⊥PB，求出MQ的斜率，再求直線MQ的方程，即可得到定點．

解：（1）易得且，

解得

所以橢圓E的方程為

（2）設(shè)，

①易得直線的方程為：，

代入橢圓得，，

由得，，從而，

所以示，

②直線過定點，理由如下：

依題意，，

由得，，

則的方程為：，即，

所以直線過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左右頂點，點為橢圓上一點，點關(guān)于軸的對稱點為，且.

（1）若橢圓經(jīng)過圓的圓心，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿足（為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某生物探測器在水中逆流行進時，所消耗的能量為E＝cvnT，其中v為行進時相對于水的速度，T為行進時的時間（單位：h），c為常數(shù)，n為能量次級數(shù)，如果水的速度為4km/h，該生物探測器在水中逆流行進200km．

（1）求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；

（2）①當(dāng)能量次級數(shù)為2時，求探測器消耗的最少能量；

②當(dāng)能量次級數(shù)為3時，試確定v的大小，使該探測器消耗的能量最少．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中以近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（�。├迷撜龖B(tài)分布，求；

（ⅱ）某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(127．6,140）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（�。┑慕Y(jié)果，求．

附：．若，則，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某人沿固定路線開車上班，沿途共有個紅綠燈，他對過去個工作日上班途中的路況進行了統(tǒng)計，得到了如表的數(shù)據(jù)：

上班路上遇見的紅燈數(shù)

天數(shù)

若一路綠燈，則他從家到達(dá)公司只需用時分鐘，每遇一個紅燈，則會多耗時分鐘，以頻率作為概率的估計值

（1）試估計他平均每天上班需要用時多少分鐘？

（2）若想以不少于的概率在早上點前（含點）到達(dá)公司，他最晚何時要離家去公司？

（3）公司規(guī)定，員工應(yīng)早上點（含點）前打卡考勤，否則視為遲到，每遲到一次，會被罰款元.因某些客觀原因，在接下來的個工作日里，他每天早上只能從家出發(fā)去公司，求他因遲到而被罰款的期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)：用水量不超過a的部分按照平價收費，超過a的部分按照議價收費）．為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），制作了頻率分布直方圖，

（Ⅰ）用該樣本估計總體：

（1）估計該市居民月均用水量的平均數(shù)；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，則月均用水量a的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸？

（Ⅱ）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機調(diào)查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超過2.5噸的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB+bcosA＝2ccosB．

（1）若a＝3，，求c的值；

（2）若，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：

月份

廣告投入量

收益

他們分別用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：

（Ⅰ）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；

（Ⅱ）殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：

（ⅰ）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程；

（ⅱ）若廣告投入量時，該模型收益的預(yù)報值是多少？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓(xùn)，隨機調(diào)查了80名新生，得到如下2×2列聯(lián)表

愿意

不愿意

合計

男

x

5

M

女

y

z

40

合計

N

25

80

（1）寫出表中x，y，z，M，N的值，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為愿意參加軍訓(xùn)與性別有關(guān)；

（2）在被調(diào)查的不愿意參加軍訓(xùn)的學(xué)生中，隨機抽出3人，記這3人中男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式：

附：

P（K2≥k0）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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