Question

我們知道：若函數(shù)y=f(x)存在函數(shù)y=f^-1(x)，則原函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f^-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；若y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點(diǎn)，則某些公共點(diǎn)也未必在直線y=x上，例如：f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)為定義域上的增函數(shù)，且y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點(diǎn)，求證：y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點(diǎn)在直線y=x上；

(Ⅱ)設(shè)f(x)=a^x(a＞1),試討論f(x)與f^-1(x)的圖像的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)M(x₀,y₀)為y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點(diǎn)則y₀=f(x₀)  (1)    y₀=f^-1(x₀)  (2)

由(2)有x₀=f(y₀)  (3) 

若x₀＜y₀,則由(1),(3)式有：f(y₀)＜f(x₀)又因?yàn)閥=f(x)為增函數(shù),則由f(y₀)＜f(x₀)有：y₀＜x₀,這與x₀＜y₀矛盾 

這說(shuō)明x₀＜y₀不可能成立,同理可證y₀＜x₀也不可能成立所以x₀=y₀,即點(diǎn)M(x₀,y₀)在直線y=x上,也就是y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點(diǎn)在直線y=x上

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：當(dāng)y=f(x)為增函數(shù)時(shí),若y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點(diǎn),則這些公共點(diǎn)也即y=f(x)與y=x的公共點(diǎn) 

以下討論y=a^x與y=x的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：考慮函數(shù)g(x)=f(x)-x,即g(x)=a^x-x(a＞1)g′(x)=a^x·lna-1,令a^x·lna-1≥0有a^x≥=log_ae,即x≥log_a(log_ae)由此知當(dāng)x∈(log_a(log_ae),+∞)時(shí),g′(x)＞0當(dāng)x∈(-∞,log_a(log_ae))時(shí),g′(x)＜0所以g(x)_min=g(log_a(log_ae))=a^loga(logae)-log_a(log_ae)=log_ae-log_a(log_ae) 

①當(dāng)log_ae-log_a(log_ae)＞0即lna＞也就是a＞時(shí),g(x)_min＞0

所以f(x)=a^x與y=x的圖像沒(méi)有公共點(diǎn),因而f(x)與f^-1(x)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)

②當(dāng)log_ae-log_a(log_ae)=0即a=時(shí),f(x)與f^-1(x)的圖像有唯一公共點(diǎn)

③當(dāng)log_ae-log_a(log_ae)＜0即1＜0＜時(shí),f(x)與f^-1(x)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)