Question

【題目】己知橢圓C：的左右焦點分別為，，直線l：與橢圓C交于A，B兩點為坐標原點．

若直線l過點，且十，求直線l的方程；

若以AB為直徑的圓過點O，點P是線段AB上的點，滿足，求點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】(1) 或；（2）()．

【解析】

（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根據(jù)弦長公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直線l的方程．

（2）設直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.結合韋達定理及條件，整理得3m2=8k2+8．從而有 |OP|2=（定值），得到點P的軌跡是圓，且去掉圓與x軸的交點.寫出點P的軌跡方程即可.

（1）由橢圓定義得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，則|AB|=．

因為直線l過點F1(-2,0)，所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2).

設A(x1，y1)，B(x2，y2).

聯(lián)立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦長公式|AB|=，

代入整理得，解得．所以直線l的方程為，

即或．

（2）設直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB為直徑的圓過原點O，即．

∴ x1x2+ y1y2=0．將y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 將x1+x2=，x1x2=代入，

整理得3m2=8k2+8． ∵ 點P是線段AB上的點，滿足，

設點O到直線AB的距離為d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值），

∴ 點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，且去掉圓與x軸的交點.

故點P的軌跡方程為()．