Question

2008年金融風暴橫掃全球．為抗擊金融風暴，市工貿系統(tǒng)決定對所屬企業(yè)給予低息貸款的扶持．該系統(tǒng)先根據(jù)相關評分標準對各個企業(yè)進行了評估，并依據(jù)評估得分將這些企業(yè)分別評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格4個等級，然后根據(jù)評估等級分配相應的低息貸款金額，其評估標準和貸款金額如下表：

評估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
評定類型	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
貸款金額（萬元）	0[	200	400	800

為了更好地掌控貸款總額，該系統(tǒng)隨機抽查了所屬部分企業(yè)的評估分數(shù)，得其頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)；
（Ⅱ）該系統(tǒng)要求各企業(yè)對照評分標準進行整改，若整改后優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量依次成等差數(shù)列，系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值（即數(shù)學期望）不低于410萬元，那么整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是多少？

Answer 1

解：（Ⅰ）因為0.015×10=0.15，0.04×10=0.4，
在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，
所以中位數(shù)在區(qū)間[60，70）內，…（3分）
設中位數(shù)為x，則，解得x=8.75…（4分）
估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)是68.75．…（5分）
（Ⅱ）據(jù)題意，整改后優(yōu)秀企業(yè)的頻率為10×0.025=0.25，
不合格企業(yè)，良好企業(yè)的頻率成等差數(shù)列．…（6分）
設該等差數(shù)列的首項為a，公差為d，
則3a+3d=1-0.25=0.75，即a+d=0.25，…（8分）
設該系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值為Eξ，則
Eξ=a×0+（a+d）×200+（a+2d）×400+0.25×800
=0.25×200+（0.25+d）×400+0.25×800
=400d+350
=450-400a．
∵Eξ≥410，
∴450-400a≥410，
∴a≤0.1．…（11分）
故整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是10%．…（12分）
分析：（Ⅰ）因為0.015×10=0.15，0.04×10=0.4，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，所以中位數(shù)在區(qū)間[60，70）內．由此能估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)．
（Ⅱ）整改后優(yōu)秀企業(yè)的頻率為0.25，由不合格企業(yè)，良好企業(yè)的頻率成等差數(shù)列．設該等差數(shù)列的首項為a，公差為d，則3a+3d=1-0.25=0.75，即a+d=0.25，由此能求出整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值．
點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的應用，具體涉及到中位數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)學期望等知識點，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．