Question

【題目】如圖，已知平行四邊形和矩形所在平面垂直，其中為棱的中點，為的中點.

（1）求證:；

（2）若點到平面的距離是，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先連接，，根據面面垂直的性質得到平面，根據線面垂直的性質得到.根據可得到，再根據線面垂直的判定即可證明平面，即證.

（2）首先取中點，連接，根據平面得到點到平面的距離就是，取中點，連接，利用面面垂直的性質即可證明為三棱柱的高，再求其體積即可.

（1）連接，因為為正三角形，為棱的中點，

所以，因為，從而，

又平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.①

設，所以，

又，所以，

所以.

又，所以.

則，②

由①②及，可得平面.

所以.

（2）取中點，連接，則，

則平面，

因為平面，

故點到平面的距離就是點到平面的距離.

故，因，得，則，

取中點，連接，因為為正三角形，所以.

因為平面平面，

平面，.

所以平面，

所以為三棱柱的高，

由已知可得，，

所以三棱柱的體積.