Question

【題目】已知橢圓： ，過點作圓的切線，切點分別為， ，直線恰好經(jīng)過橢圓的右頂點和上頂點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦， ，設(shè)， 的中點分別為， ，證明：直線必過定點，并求此定點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過點．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)直線與圓相切求切線方程，再根據(jù)橢圓幾何條件確定， ，（2）直線過定點問題，一般先利用特殊情況確定定點，轉(zhuǎn)化為證三點共線：先聯(lián)立直線： ，與橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式求中點（用直線AB斜率表示），同理可得點坐標(biāo)，利用兩點斜率公式證三點共線.

試題解析：（Ⅰ）由切點弦方程知切線方程為，令，則，所以上頂點的坐標(biāo)為，

所以，令，則，

所以右頂點的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）若直線， 斜率均存在，設(shè)直線： ， ， ，

則中點．先考慮的情形．　

由得，

由直線過點，可知判別式恒成立，

由韋達定理，得，故，同理可得.

若，得，則直線斜率不存在，此時直線過點．

另當(dāng)斜率為0時，直線也過點．

下證動直線過定點，

， ，

∴，即直線過點．