Question

【題目】已知函數(shù) ， ．

（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）求證： (參考數(shù)據(jù)： )．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn). (Ⅲ)見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（1）構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)運(yùn)用分類(lèi)整合思想分析探求；（2）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的圖像變化情況，確定函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）借助（1）、（2）的結(jié)論運(yùn)用縮放的方法進(jìn)行分析推證：

(Ⅰ)令則

①若，則， ， 在遞增， ，即在 恒成立，滿(mǎn)足，所以；

②若， 在遞增， 且

且時(shí)， ，則使進(jìn)而在遞減，在遞增，

所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， ，不滿(mǎn)足題意，舍去；

綜合①，②知的取值范圍為.

(Ⅱ)依題意得，則，

則在上恒成立，故在遞增，

所以，且時(shí)， ；

若，即，則，故在遞減，所以，

在無(wú)零點(diǎn)；②若，即，則使，進(jìn)而在遞減，在遞增， 且時(shí)， ， 在上有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，故在有一個(gè)零點(diǎn).

綜合①②，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn).

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立，

令，則 即；

由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立，

令，則，所以；

故有.