【題目】如圖，四棱錐中，側棱垂直于底面，，，為的中點，平行于，平行于面，.

(1)求的長；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接、，由三角形中位線定理，以及線面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得為平行四邊形，所以，；（2）取中點，則垂直于，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，平面法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求得

平面法向量為，平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：(1)取的中點，連接、，

因為平行于，平行于，所以平行于，

所以四點共面，

因為平行于面，面與面交與，所以平行于，

所以為平行四邊形.

所以，.

(2取中點，則垂直于，因為平行于，所以垂直于，于是以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，

由垂直于，垂直于，平面法向量為，

通過計算得平面的法向量為.經判斷知二面角為鈍角，于是其余弦為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中心在原點的橢圓E的一個焦點與拋物線的焦點關于直線對稱，且橢圓E與坐標軸的一個交點坐標為.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點的直線l（直線的斜率k存在且不為0）交E于A，B兩點，交x軸于點P點A關于x軸的對稱點為D，直線BD交x軸于點Q.試探究是否為定值？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓：的左右兩個焦點，過的直線與交于，兩點（在第一象限），的周長為8，的離心率為.

（1）求的方程；

（2）設，為的左右頂點，直線的斜率為，的斜率為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染，保衛(wèi)藍天，鼓勵廣大市民使用電動交通工具出行，決定為電動車（含電動自行車和電動汽車）免費提供電池檢測服務.現(xiàn)從全市已掛牌照的電動車中隨機抽取100輛委托專業(yè)機構免費為它們進行電池性能檢測，電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個等級，并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統(tǒng)計，樣本分布如圖.

（1）采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動車中隨機抽取9輛，再從這9輛中隨機抽取2輛，求至少有一輛為電動汽車的概率；

（2）為進一步提高市民對電動車的使用熱情，市政府準備為電動車車主一次性發(fā)放補助，標準如下：①電動自行車每輛補助300元；②電動汽車每輛補助500元；③對電池需要更換的電動車每輛額外補助400元.試求抽取的100輛電動車執(zhí)行此方案的預算；并利用樣本估計總體，試估計市政府執(zhí)行此方案的預算.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點，在橢圓上，PF1⊥x軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年全國“兩會”，即中華人民共和國第十三屆全國人大二次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十三屆全國會第二次會議，分別于2019年3月5日和3月3日在北京召開．為了了解哪些人更關注“兩會”，某機構隨機抽取了年齡在歲之間的200人進行調查，并按年齡繪制出頻率分布直方圖，如圖．

若把年齡在區(qū)間，內的人分別稱為“青少年”“中老年”．經統(tǒng)計“青少年”和“中老年”的人數(shù)之比為．其中“青少年”中有40人關注“兩會”，“中老年”中關注“兩會”和不關注“兩會”的人數(shù)之比為．

（1）求圖中的值．

（2）現(xiàn)采用分層抽樣在和中隨機抽取8人作為代表，從8人中任選2人，求2人都是“中老年”的概率．

（3）根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有％的把握認為“中老年”比“青少年”更加關注“兩會”．

關注

不關注

總計

“青少年”

“中老年”

總計

附：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點在橢圓C上.橢圓C的左頂點為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點，求三角形APQ的面積；

（3）過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線交軸于點C，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著2022年北京冬奧會的臨近，中國冰雪產業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動人數(shù)快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國雪場滑雪人數(shù)(單位:萬人)與同比增長情況統(tǒng)計圖.則下面結論中正確的是( )

①2012-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加；②2013-2015年，中國雪場滑雪人數(shù)和同比增長率均逐年增加；③中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬人，因此這兩年的同比增長率均有提高；④2016-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)的增長率約為23.4%.

A.①②③B.②③④C.①②D.③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學長期堅持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”和“語文素養(yǎng)能力測試”兩項測試，以給學生課外興趣學習及輔導提供參考依據(jù)．成績分為，，，，五個等級（等級，，，，分別對應5分，4分，3分，2分，1分）．某班學生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“語文素養(yǎng)能力測試”科目的成績?yōu)?/span>的考生有3人．

（1）求該班“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”的科目平均分以及“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”科目成績?yōu)?/span>的人數(shù)；

（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機抽取三人，設三人的成績之和為，求．

（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊參加學校內的“數(shù)學限時解題挑戰(zhàn)賽”．規(guī)則為：每隊首先派一名隊員參加挑戰(zhàn)賽，在限定的時間，若該生解決問題，即團隊挑戰(zhàn)成功，結束挑戰(zhàn)；若解決問題失敗，則派另外一名隊員上去挑戰(zhàn)，直至派完隊員為止．通過訓練，已知甲，乙，丙通過挑戰(zhàn)賽的概率分別是，，，問以怎樣的先后順序派出隊員，可使得派出隊員數(shù)目的均值達到最��？（只需寫出結果）

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