Question

【題目】已知點M在橢圓上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．

（Ⅰ）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）設，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F，可知．由圓M與y軸相切，得．兩者聯立即可得出參數a，c的二元齊次方程，進而得到離心率e的方程，從而求解．（Ⅱ）由已知得，，，，然后結合即可求出a，b的值即可．

試題解析：（Ⅰ）設，圓M的半徑為r，依題意得

將代入橢圓方程得：，所以，又，

從而得，兩邊除以得：

解得：，因為，所以．

（Ⅱ）因為是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑，

M到圓y軸的距離，又由（1）知：，，

所以，，，又因為，解得：，

，

所求橢圓方程是：．