Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，通過證明//，進(jìn)而證明線面平行；

（2）取中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，如下圖所示：

在中，因?yàn)?/span> 為的中點(diǎn)，

，且，

又為的中點(diǎn)，，

，且，

，且，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面，

平面，即證.

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，平面，

以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，，，，，

，，，

設(shè)平面的一個法向量，

則，則，

令．則，

同理得平面的一個法向量為，

則，

故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.