已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應關系用v=f(u)表示.

(1)證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)設a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標；

(3)求使f(c)=(p、q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標.

解：(1)設a=(a1,a2),b=(b1,b2),則ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).

    ∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),

    mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).

    ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

    (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),

    f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

    (3)設c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.

    ∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).

講評：要利用題設條件，必須將向量用坐標表示，通過坐標進行計算，從而解決問題，這也是向量運算中比較常用的方法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
u
=(x，y)與向量
v
=(y，2y-x)的對應關系可用
v
=f(
u
)表示．
（1）設
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐標；
（2）證明：對于任意向量
a
、
b
及常數(shù)m、n，恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立；
（3）求使f(
c
)=(3，5)成立的向量
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
u
=(x，y)與
v
=(y，2y-x)的對應關系用
v
=f(
u
)表示．
（Ⅰ）設
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐標；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q為常數(shù)）的向量
c
的坐標；
（Ⅲ）證明：對于任意向量
a
，
b
及常數(shù)m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應關系用v=f(u)表示.

(1)證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)設a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐標;

(3)求使f(c)=(p,q)(p,q為常數(shù))的向量c的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量u=(x,y),v=(y,2y-x)的對應關系用v=?f(u)?表示．

（1）證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

（2）設a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐標；

（3）求使f(c)=(p,q),(p、q∈R,且p、q為常數(shù)）的向量c的坐標．

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