Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.過橢圓的右焦點(diǎn)作長軸的垂線與橢圓，在第一象限交于點(diǎn)，且滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）易知，設(shè)，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到，得到橢圓方程.

（2）考慮矩形邊與坐標(biāo)軸平行和不平行兩種情況，聯(lián)立方程組根據(jù)得到和的關(guān)系，計(jì)算邊長得到面積表達(dá)式，根據(jù)均值不等式計(jì)算得到答案.

（1）由，可知橢圓半焦距，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

在△中，，即，所以，

所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時，易知.

當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行時，根據(jù)對稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，

則對邊所在直線方程為，

另一邊所在的直線方程為，則對邊所在直線方程為，

聯(lián)立，得，

由題意知，整理得，

矩形的一邊長為，同理，矩形的另一邊長為，

，

因?yàn)?/span>，所以，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，

所以，則，所以.

綜上所述，該矩形面積的取值范圍為.