Question

【題目】如圖，已知橢圓M：經(jīng)過(guò)圓N：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和與y軸正半軸的交點(diǎn).

（1）求橢圓M的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓N上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)的最大值；

（3）若不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓M于A、B兩點(diǎn)，交圓N于C、D兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足求證:線段AB的中點(diǎn)E在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)圓的方程求出圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意，即可求出橢圓方程；

（2）先由橢圓方程，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求出點(diǎn)到圓圓心的距離，根據(jù)圓的特征，得到（其中為圓的半徑），即可求出結(jié)果；

（3）先設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到其中點(diǎn)坐標(biāo)為；再由題意，得到，推出，求出與的關(guān)系式，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)閳A：，令，則或，所以圓與軸正半軸的交點(diǎn)為；

令，則，即圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和與軸正半軸的交點(diǎn)，所以，

即橢圓的方程為：；

（2）由（1）可設(shè)，

則點(diǎn)到圓的圓心的距離為：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；

又點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得：

（其中為圓的半徑）；

（3）設(shè)，，直線的方程為，

由消去得，

整理得：，

所以，所以，

所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為：；

因?yàn)橹本�交圓于點(diǎn)，，且，

因此也是的中點(diǎn)；

根據(jù)圓的性質(zhì)可得：，

所以，即，整理得，

所以，因此點(diǎn)在定直線上.