Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標原點O在圓M上；

(2)設(shè)圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）證明略；（2）直線的方程為，圓的方程為.或直線的方程為，圓的方程為

試題分析：（1）設(shè)出點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由斜率之積為可得，即得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得實數(shù)的值，分類討論即可求得直線的方程和圓的方程.

試題解析：（1）設(shè)，.

由 可得，則.

又，故.

因此的斜率與的斜率之積為，所以.

故坐標原點在圓上.

（2）由（1）可得.

故圓心的坐標為，圓的半徑.

由于圓過點，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓 的方程為.

【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求a的值；

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）由原函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得；

（2）由題意結(jié)合（1）的結(jié)論對不等式進行放縮，求得，結(jié)合可知實數(shù)的最小值為.

試題解析：（1）的定義域為.

①若，因為，所以不滿足題意；

②若，由知，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是在的唯一最小值點.

由于，所以當且僅當a=1時，.故a=1.

（2）由（1）知當時，.

令得.從而

.

故.

而，所以的最小值為.