Question

【題目】已知、、是函數(shù)的三個極值點(diǎn),且,有下列四個關(guān)于函數(shù)的結(jié)論:①；②；③；④恒成立,其中正確的序號為__________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】解答：

f′(x)=,(x>0),記g(x)=kx,g′(x)=k

當(dāng)k1時,則有x>0g′(x)>k>0g(x)在(0,+∞)上遞增,∴g(x)=0至多有一解,f′(x)=0至多有兩解，不符合題意。

當(dāng)k>1時,由g(x)得單調(diào)性可知g(x)min=g(lnk)=klnk,要使函數(shù)f(x)有三個極值點(diǎn),即f′(x)=0恰有三個不等正實(shí)數(shù)根,∴g(x)min=kklnk<0

解得k>e，故①錯；

又∵g(1)=ek<0,且1是函數(shù)f(x)=lnx+x(k∈R)的一個極值點(diǎn),∴x1<x2=1<x3，故②正確；

由上可得x1,x3是g(x)=0的兩個根,即=kx1,=kx3，

∴f(x1)=lnx1+x1=1+lnk,同理f(x3)=1+lnk，故③正確；

由以上推導(dǎo)可得f(x)在(0,x1)遞減,在(x1,1)遞增,在(1,x3)上遞減,在(3,+∞)上遞增。

∴f(x)min=f(x1)=f(x3)=1+lnk>1+lne=2，故④正確。

故答案為：②③④