Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)C上的一點(diǎn)，且的外接圓圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．

（I）求拋物線(xiàn)C的方程；

（II）若圓F的方程為，過(guò)點(diǎn)P作圓F的2條切線(xiàn)分別交軸于點(diǎn)，求面積的最小值時(shí)的值．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求圓心縱坐標(biāo)，再由圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，可求的值，從而得拋物線(xiàn)的方程；（II）先設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在的直線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，可得兩切線(xiàn)的斜率關(guān)系，然后得兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得，然后再求三角形PMN的面積，再利用導(dǎo)數(shù)判斷面積的單調(diào)性而求最小值，再得的值.

試題解析：（I）的外接圓的圓心在直線(xiàn)OF，F(xiàn)P的中垂線(xiàn)交點(diǎn)上，且直線(xiàn)OF的中垂線(xiàn)為直線(xiàn)，則圓心的縱坐標(biāo)為，                   1分

故到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.          2分

從而p=2，即C的方程為.                  5分

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)P斜率存在的直線(xiàn)為，則點(diǎn)F(0，1)到直線(xiàn)的距離

。                7分

令d=1，則，所以。

設(shè)兩條切線(xiàn)PM，PN的斜率分別為，則

，，             9分

且直線(xiàn)PM：，直線(xiàn)PN：，故，

因此  11分

所以               12分

設(shè)，則

令，則 .

在上單點(diǎn)遞減，在上單調(diào)遞增，因此

從而，此時(shí)．  15分

考點(diǎn)：1、拋物線(xiàn)的方程及性質(zhì)；2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；3、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交及與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用