如圖,設(shè)拋物線方程為,
為直線
上任意一點,過
引拋物線的切線,切點分別為
.
(1)求證:三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)已知當(dāng)點的坐標為
時,
.求此時拋物線的方程。
(1)根據(jù)已知條件設(shè)出點A,B的坐標,,然后借助于拋物線的導(dǎo)數(shù)來得到斜率值,
.,進而解方程,得到證明。
(2)拋物線方程為或
.
解析試題分析:(1)證明:由題意設(shè).
由得
,得
,所以
,
.
因此直線的方程為
,
直線的方程為
.
所以,①
.②
由①減②得,因此
,即
.
所以 三點的橫坐標成等差數(shù)列. 6分
(2)由(1)知,當(dāng)時,將其代入①、②并整理得:
,
,
所以是方程
的兩根,
因此,
,
又,所以
.
由弦長公式得.
又,所以
或
,
因此所求拋物線方程為或
. 12分
考點:直線與拋物線的位置關(guān)系
點評:解決的關(guān)鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率,同時聯(lián)立方程組求解弦長,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
,左、右兩個焦點分別為
、
,上頂點
,
為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓的標準方程及離心率;
(2)為坐標原點,
是直線
上的一個動點,求
的最小值,并求出此時點
的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓,它的離心率為
,一個焦點和拋物線
的焦點重合,過直線
上一點
引橢圓
的兩條切線,切點分別是
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上的點
處的橢圓的切線方程是
. 求證:直線
恒過定點
;并出求定點
的坐標.
(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得
恒成立?(點
為直線
恒過的定點)若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點的直線與橢圓
相交于兩點
,設(shè)
為橢圓上一點,且滿足
(其中
為坐標原點),求整數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)拋物線(
)的準線與
軸交于
,焦點為
;以
、
為焦點,離心率
的橢圓
與拋物線
在
軸上方的一個交點為
.
(1)當(dāng)時,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,直線經(jīng)過橢圓
的右焦點
,與拋物線
交于
、
,如果以線段
為直徑作圓,試判斷點
與圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)是否存在實數(shù),使得
的邊長是連續(xù)的自然數(shù),若存在,求出這樣的實數(shù)
;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)設(shè)圓C:,此圓與拋物線
有四個不同的交點,若在
軸上方的兩交點分別為
,
,坐標原點為
,
的面積為
。
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)求關(guān)于
的函數(shù)
的表達式及
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,連接BC、AC。
(1)求AB和OC的長;
(2)點E從點A出發(fā),沿x軸向點B運動(點E與點A、B不重合)。過點E作直線l平行BC,交AC于點D。設(shè)AE的長為m,△ADE的面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接CE,求△CDE面積的最大值;此時,求出以點E為圓心,與BC相切的圓的面積(結(jié)果保留)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標原點
,一個長軸端點為
,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,若直線
與
軸交于點
,與橢圓
交于不同的兩點
,且
。(14分)
(1)求橢圓的方程;
(2)求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的短軸長等于焦距,橢圓C上的點到右焦點
的最短距離為
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點且斜率為
的直線
與
交于
、
兩點,
是點
關(guān)于
軸的對稱點,證明:
三點共線.
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