【題目】將平面上每個點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點(diǎn)同色。

【答案】見解析

【解析】

首先證明平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形.在平面上任作直線，則上必有兩點(diǎn)同色，設(shè)此兩點(diǎn)為，.過，分別作的垂線，.如果或上有與，同色的點(diǎn)，則

即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.如果與上除與外其余點(diǎn)均與，異色，則在上取異于的兩點(diǎn)，，并過作，垂足為，則即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.因此，平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形，設(shè)其中之一為.將對稱地補(bǔ)成矩形.用兩組分別平行于與的等分平行線將矩形等分成個與原矩形相似的小矩形.（如圖）

以下用反證法證明：若為奇數(shù)，則在這些小矩形中必有一個，它的頂點(diǎn)中至少有三個同色，即存在一個三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.假設(shè)不存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.線段上端點(diǎn)及分點(diǎn)共個，為偶數(shù)，因此上必有相鄰的兩點(diǎn)同色（若每相鄰兩點(diǎn)異色，則，亦應(yīng)異色，與已知矛盾），不妨設(shè)為，.則，所在的小矩形的另兩個頂點(diǎn)必與，異色（否則已出現(xiàn)同色小三角形）.依次類推，可知矩形中，每條豎線上的兩頂點(diǎn)都同色.同理，線段上有相鄰兩點(diǎn)，同色，也有矩形，其中每條橫線上的兩頂點(diǎn)都同色.設(shè)矩形與的公共部分為小矩形，由以上所說，與同色且與同色，從而即是三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這與假設(shè)矛盾.因此必存在一個三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這個三頂點(diǎn)同色的小直角三角形與原直角三角形是相似的，相似比為，當(dāng)時(shí)就是題目所要證明的結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中，為的中點(diǎn)，為外心，點(diǎn)滿足.

（1）證明：；

（2）若，設(shè)與相交于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來越便利，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條地鐵線路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足: ，平均每班地鐵的載客人數(shù) （單位：人）與發(fā)車時(shí)間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系：，

（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1560人，試求發(fā)車時(shí)間間隔的取值范圍；

（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校高一學(xué)生有1000名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)小測驗(yàn)，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測驗(yàn)成績得如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）求該學(xué)校高一學(xué)生隨機(jī)抽取的200名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）；

（2）試估計(jì)該校高一學(xué)生在這一次的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績在區(qū)間之內(nèi)的概率是多少？測驗(yàn)成績在區(qū)間之外有多少位學(xué)生？（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某果農(nóng)從經(jīng)過篩選（每個水果的大小最小不低于50克，最大不超過100克）的10000個水果中抽取出100個樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：

級別

大小（克）

頻數(shù)

頻率

一級果

5

0.05

二級果

三級果

35

四級果

30

五級果

20

合計(jì)

100

請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解得下列問題：

（1）求的值，并完成頻率分布直方圖；

（2）若從四級果，五級果中按分層抽樣的方法抽取5個水果，并從中選出2個作為展品，求2個展品中僅有1個是四級果的概率；

（3）若將水果作分級銷售，預(yù)計(jì)銷售的價(jià)格元/個與每個水果的大小克關(guān)系是：，則預(yù)計(jì)10000個水果可收入多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】榆林市政府堅(jiān)持保護(hù)環(huán)境和節(jié)約資源，堅(jiān)持推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)。若市財(cái)政局下?lián)軐？?/span>100百萬元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金(單位：百萬元)的函數(shù)(單位：百萬元)：，處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金單位：(單位：百萬元)的函數(shù)(單位：百萬元)：。

(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為(百萬元)，則兩個生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的收益總和為y，寫出y關(guān)于的函數(shù)解析式和定義域；

(2)試求出y的最大值，并求出此時(shí)對兩個生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知A(a,0)、B(0,b)（其中ab≠0）O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）動點(diǎn)P(x,y)滿足,求P點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)是線段AB的n+1（n≥1）等分點(diǎn)，當(dāng)n=2018時(shí)，求的值；

（3）若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)

（1）若曲線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)若為函數(shù)的極大值，且

①求的值；

②求證：對于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定，，，所對的邊分別是，，，在所在平面作直線與的某兩邊相交，沿將折成一個空間圖形，將由分成的小三角形的不在上的頂點(diǎn)與另一部分的頂點(diǎn)連接，形成一個三棱錐或四棱錐。問：

（1）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（需詳證）

（2）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（敘述結(jié)果，不要證明）

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