【題目】對于定義在上的函數(shù)，如果存在兩條平行直線與，使得對于任意，都有恒成立，那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù)，若，之間的最小距離存在，則稱為帶寬.

（1）判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)？如果是，指出帶寬（不用證明）；如果不是，說明理由；

（2）求證：函數(shù)（）是帶狀函數(shù)；

（3）求證：函數(shù)（）為帶狀函數(shù)的充要條件是.

【答案】（1）是，帶寬；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先理解帶狀函數(shù)的特征，再求函數(shù)的值域即可得解；

（2）由函數(shù)，（）的圖像表示雙曲線 在第一象限的部分，

再結(jié)合雙曲線的漸近線即可找出兩平行直線；

（3）由分段函數(shù)的圖像特征，結(jié)合帶狀函數(shù)的定義，分別證明充分性及必要性即可.

解：（1）因為，所以，

取直線 ，則恒成立，

即函數(shù)是帶狀函數(shù)，帶寬為；

（2）因為，（）表示雙曲線 在第一象限的部分，又雙曲線的漸近線方程為，故函數(shù)滿足，則函數(shù)為有一個寬帶為的帶狀函數(shù)；

（3）函數(shù) ，

先證充分性，當(dāng)時，，

不妨設(shè) ，則，即存在直線，，滿足題意，即函數(shù)為帶狀函數(shù)，

再證必要性，當(dāng)函數(shù)（）為帶狀函數(shù)，

則存在，又，當(dāng)，則直線與兩直線，中至少一條相交，故不滿足，即不滿足題意，即，

故函數(shù)（）為帶狀函數(shù)的充要條件是.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，已知△的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，其中，且，延長線段到點，使得，.

（1）求證：是直角；

（2）求的值.

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【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山，從山的側(cè)面進行勘測，迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成，其中所在的拋物線以為頂點、開口向下，所在的拋物線以為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為軸，過山頂（點）的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式，所在拋物線的解析式為

（1）求值，并寫出山坡線的函數(shù)解析式；

（2）在山坡上的700米高度（點）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點處，（米），假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；

（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？

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【題目】圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測量得知，，當(dāng)為中點時，.

（1）求的長；

（2）試問在線段的何處時，達(dá)到最大.

圖1

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【題目】如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形的長分別為米和米，上部是圓心為的劣弧，

（1）求圖1中拱門最高點到地面的距離：

（2）現(xiàn)欲以點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示，設(shè)與地面水平線所成的角為.若拱門上的點到地面的最大距離恰好為到地面的距離，試求的取值范圍.

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【題目】記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令

（Ⅰ）若，請寫出的值；

（Ⅱ）求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件；

（Ⅲ）若 ，求證:存在，使得，有

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【題目】對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是數(shù)列，若正數(shù)項數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)恒成立，則稱是數(shù)列；

（1）已知正數(shù)項數(shù)列是數(shù)列，且前五項分別為、、、、，求的值；

（2）若為常數(shù)，且是數(shù)列，求的最小值；

（3）對于下列兩種情形，只要選作一種，滿分分別是 ①分，②分，若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答記分.

① 證明：數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件為“既是數(shù)列，又是數(shù)列”；

②證明：正數(shù)項數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為“數(shù)列既是數(shù)列，又是數(shù)列”.

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【題目】定義：若函數(shù)對任意的，都有成立，則稱為上的“淡泊”函數(shù).

（1）判斷是否為上的“淡泊”函數(shù)，說明理由；

（2）是否存在實數(shù)，使為上的“淡泊”函數(shù)，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由；

（3）設(shè)是上的“淡泊”函數(shù)（其中不是常值函數(shù)），且，若對任意的，都有成立，求的最小值.

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（I）求直線AP斜率的取值范圍；

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