Question

【題目】已知函數.

（1）求在上的最值；

（2）設，若當，且時，，求整數的最小值..

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）2

【解析】

(1)先對函數求導，然后討論參數的范圍，分別判斷每種情況下的單調性，即可求出對應的最值；

(2)先寫出的解析式，分兩種情況討論：

當時，由(1)易知時，，從而，進而可得m的范圍；

當時，可將變形為，只需用導數的方法研究的單調性和最值即可；

解法一：

（1），

①當時，

因為，所以在上單調遞減，

所以，無最小值.

②當時，

令，解得，在上單調遞減；

令，解得，在上單調遞增；

所以，無最大值.

③當時，

因為，等號僅在，時成立，

所以在上單調遞增，

所以，無最大值.

綜上，當時，，無最小值；當時，，無最大值；當時，，無最大值.

（2）,

當時，因為，由（1）知，所以（當時等號成立），所以.

當時，因為，所以，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因為，

令，，則，在上單調遞減，

又因為，，

所以存在使得，

當時，，，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞減；

所以，

因為，所以，

所以，

所以的最小整數值為2.

解法二：

（1）同解法一.

（2），

①當時，因為，由（1）知，所以，所以，

②當時，因為，，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因為在上，所以，

下面證明，即證在上恒成立，

令，，

則，令，得，

當時，，在區(qū)間上遞減；

當時，，在區(qū)間上遞增，

所以，且，

所以當時，，即.

由①②得當時，，

所以的最小整數值為2.