【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合，從集合中任取個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；

（1）若集合，求當(dāng)時(shí)，的值；

（2）若集合，證明：時(shí)集合的與時(shí)集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式，其中；

（3）對(duì)于（2）中集合.定義，求（用n表示）.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）利用的定義可得的值.

（2）時(shí)，集合的中乘積由兩部分構(gòu)成，一部分是乘積中含，另一部分不含，從而可得之間的關(guān)系.

（3）可先證明所有非空子集中各元素的乘積和為，從而可得.

（1）時(shí)，，

所以，，.

（2）時(shí)，集合的中各乘積由兩部分構(gòu)成，

一部分是乘積中含因數(shù)，乘積的其他因數(shù)來(lái)自集合，故諸乘積和為；

另一部分不含，乘積的所有因數(shù)來(lái)自集合，故諸乘積的和為.

故.

（3）我們先證明一個(gè)性質(zhì)：

所有非空子集中各元素的乘積和為.

證明：考慮的展開(kāi)式，該展開(kāi)式共有項(xiàng)，

每一項(xiàng)均為各因式中選取或后的乘積（除去各項(xiàng)均選1）.

對(duì)于的任意非空子集，

該集合中各元素的乘積為的展開(kāi)式中的某一項(xiàng)：即第個(gè)因式選擇， ，其余的因式選擇1，

注意到非空子集的個(gè)數(shù)為，

故的所有非空子集中各元素的乘積均在的展開(kāi)式中恰好出現(xiàn)一次，

所以所有非空子集中各元素的乘積和為.

故對(duì)于，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且滿(mǎn)足.

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)拋物線上的任意一點(diǎn)作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò).若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，則說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則；

B.已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件；

C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：,則；

D.是的充分不必要條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若同時(shí)滿(mǎn)足：

（Ⅰ）若存在閉區(qū)間，使得任取，都有（是常數(shù)）；

（Ⅱ）對(duì)于內(nèi)任意，當(dāng)，時(shí)總有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為“平底型”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)和是否是“平底型”函數(shù)？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（2）設(shè)是（1）中的“平底型”函數(shù)，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和滿(mǎn)足的條件，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】松江有軌電車(chē)項(xiàng)目正在如火如荼的進(jìn)行中，通車(chē)后將給市民出行帶來(lái)便利. 已知某條線路通車(chē)后，電車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿(mǎn)足. 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，電車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)電車(chē)為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人.記電車(chē)載客量為.

（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，電車(chē)的載客量；

（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記階“期待數(shù)列” 的前項(xiàng)和為，求證；數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.

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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn)，，如果對(duì)于常數(shù)，在函數(shù)，的圖像上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的的值為4時(shí)，輸出的的值為2，則空白判斷框中的條件可能為（ ）.

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界．

（1）設(shè)，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，并寫(xiě)出的所有上界的集合；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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