Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）= （a∈R）是奇函數，函數g（x）= 的定義域為（﹣2，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣2，+∞）上單調遞減，根據單調性的定義求實數m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，得a=0

（2）解：∵ 在（﹣2，+∞）上單調遞減，

∴任給實數x1，x2，當﹣2＜x1＜x2時，g（x1）＞g（x2），

∴

∴m＜0

（3）解：由（1）得f（x）= ，令h（x）=0，即 ．

化簡得x（mx2+x+m+2）=0．

∴x=0或 mx2+x+m+2=0

若0是方程mx2+x+m+2=0的根，則m=﹣2，

此時方程mx2+x+m+2=0的另一根為 ，符合題意

若0不是方程mx2+x+m+2=0的根，

則函數h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點

等價于方程mx2+x+m+2=0（※）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有一個非零的實根

①當△=12﹣4m（m+2）=0時，得 ．

若 ，則方程（※）的根為 ，符合題意；

若 ，則與（2）條件下m＜0矛盾，不符合題意．

∴

③當△＞0時，令ω（x）=mx2+x+m+2

由 ，得 ，

解得

綜上所述，所求實數m的取值范圍是

【解析】（1）根據函數f（x）是奇函數，求出a=0即可；（2）根據函數g（x）在（﹣2，+∞）上單調遞減，得到g（x1）﹣g（x2）＞0，從而求出m的范圍即可；（3）問題轉化為x=0或 mx2+x+m+2=0，通過討論m的范圍結合二次函數的性質求出m的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．