Question

【題目】為美化環(huán)境，某市計(jì)劃在以、兩地為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理廠（如圖所示）.已知、兩地的距離為，垃圾場(chǎng)對(duì)某地的影響度與其到該地的距離有關(guān)，對(duì)、兩地的總影響度對(duì)地的影響度和對(duì)地影響度的和.記點(diǎn)到地的距離為，垃圾處理廠對(duì)、兩地的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)地的影響度與其到地距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對(duì)地的影響度與其到地的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)、兩地的總影響度為.

（1）將表示成的函數(shù)；

（2）判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)、兩地的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到地的距離；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為時(shí)，垃圾處理廠對(duì)兩地的總影響度最小.

【解析】

（1）根據(jù)題意建立含參數(shù)的函數(shù)解析式，將時(shí)代入，求得，即可求得函數(shù)解析式;

（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得答案.

解：（1）由題意，，

則，

其中，當(dāng)時(shí)，，故，

∴.

（2）存在.由（1）可得 ，

令得，

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

故時(shí)，函數(shù)有最小值.

即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為時(shí)，垃圾處理廠對(duì)兩地的總影響度最小.

（另解：此問(wèn)也可用基本不等式求最值）