Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)經過點(，1)，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經過橢圓的焦點．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設過點(－1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)－.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經過橢圓的焦點可知，將點 代入橢圓方程，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；(Ⅱ) 分類討論，當斜率存在時，將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，及恒為定值即可求得的值，從而求得的值及點坐標；當直線的斜率不存在時，點，則時，求得的值及點坐標.

試題解析：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為x2＋y2＝b2.因為該圓經過橢圓的焦點，所以半焦距c＝b，所以a2＝2b2.將點(，1)代入橢圓方程可得b2＝2，a2＝4，

所以橢圓C的方程為.

(Ⅱ)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)．

當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)．

聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2＝，

而＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝＋

＝

＝為定值，

只需，解得m＝－，從而＝－，

當直線l的斜率k不存在時，點A(－1， )，B(－1，-)，

此時，當m＝－時， ＝(－1－m)(－1－m)－＝－.

綜上，存在點M(－，0)，使得＝－.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和平面向量數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.