Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，.

（1）若是線段的中點，求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接，利用平行線的傳遞性結合得到，再利用點為的中點得到，從而證明四邊形為平行四邊形，從而得到，最終結合直線與平面的判定定理證明平面；（2）建立以點為坐標原點，以、、所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標系，利用空間向量法來求二面角的余弦值.

試題解析：（1），，，，

，，

由于，因此連接，由于，，

在平行四邊形中，是線段的中點，則，且，

因此，且，所以四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，平面；

（2），，

又平面，、、兩兩垂直。

分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

故，，又，，.

設平面的法向量，

則，，取，得，所以，

設平面的法向量，則

，∴，取，得，所以，

所以

故二面角的余弦值為.