Question

已知拋物線的頂點為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心．兩曲線的焦點在同一坐標軸上，橢圓的長軸長為4．拋物線與橢圓交于點M(

2

3

，-

2 6

3

)，求拋物線方程與橢圓方程．

Answer 1

分析：由題意可設拋物線的方程為y²=mx（m≠0）．把點代入M(

2

3

，-

2 6

3

)拋物線方程即可得到m．把點M(

2

3

，-

2 6

3

)代入橢圓的方程可得

4

9a2

+

24

9b2

=1，又2a=4，聯(lián)立即可解得．

解答：解：∵橢圓的焦點在x軸上，且兩曲線的焦點在同一坐標軸上，
∴拋物線的焦點也在x軸上，可設拋物線的方程為y²=mx（m≠0）．
∵M(

2

3

，-

2 6

3

)在拋物線上，∴(-

2 6

3

)2=

2

3

m，解得m=4，∴拋物線的方程為y²=4x．
∵M(

2

3

，-

2 6

3

)在橢圓上，∴

4

9a2

+

24

9b2

=1   ①
又2a=4  ②
由①②可得a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查了拋物線與橢圓的焦點的標準方程及其性質，屬于基礎題．