【題目】直線與拋物線相交于,兩點,且,若,到軸距離的乘積為.
(1)求的方程;
(2)設(shè)點為拋物線的焦點,當(dāng)面積最小時,求直線的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設(shè)出兩點的坐標,由距離之積為16,可得.利用向量的數(shù)量積坐標運算,將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點均在拋物線上,即可求得p的值,從而求出拋物線的方程;
(2)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,由韋達定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點,將面積用參數(shù)t表示,求出其最值,并得出此時的直線方程.
解:(1)由題設(shè),
因為,到軸的距離的積為,所以,
又因為,,
,
所以拋物線的方程為.
(2)因為直線與拋物線兩個公共點,所以的斜率不為,
所以設(shè)
聯(lián)立,得,
即,,
即直線恒過定點,
所以,
當(dāng)時,面積取得最小值,此時.
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【題目】已知橢圓的右焦點F到左頂點的距離為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)O是坐標原點,過點F的直線與橢圓C交于A,B兩點(A,B不在x軸上),若,延長AO交橢圓與點G,求四邊形AGBE的面積S的最大值.
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【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是( )
A.無論點在上怎么移動,都有
B.當(dāng)點移動至中點時,才有與相交于一點,記為點,且
C.無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
D.當(dāng)點移動至中點時,直線與平面所成角最大且為
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【題目】設(shè)、是兩個不同的平面,點、,、,下列命題中正確的是( )
A.若,,則,
B.若,,則,
C.若,,,則、,
D.若,,則
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【題目】2019年10月1日,是中華人民共和國成立70周年紀念日.70年砥礪奮進,70年波瀾壯闊,感染、激勵著一代又一代華夏兒女,為祖國的繁榮昌盛努力拼搏,奮發(fā)圖強.為進一步對學(xué)生進行愛國教育,某校社會實踐活動小組,在老師的指導(dǎo)下,從學(xué)校隨機抽取四個班級160名同學(xué)對這次國慶閱兵受到激勵情況進行調(diào)查研究,記錄的情況如下圖:
(1)如果從這160人中隨機選取1人,此人非常受激勵的概率和此人是很受激勵的女同學(xué)的概率都是,求的值;
(2)根據(jù)“非常受激勵”與“很受激勵”兩種情況進行研究,判斷是否有的把握認為受激勵程度與性別有關(guān).
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù), 對于符合題意的任意,當(dāng) 時均有?
若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點”.
(1)設(shè)函數(shù)().
①當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
②若函數(shù)存在“F點”,求k的值;
(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個不相等的“F點”,,且,求a的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是邊長為的等邊三角形,,點O,M分別是AB,BC的中點.
(1)證明:AC//平面POM;
(2)求點B到平面POM的距離.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,,為的中點,為的中點,點在線段上,且.
(1)求證:平面;
(2)若平面底面ABCD,且,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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