Question

【題目】如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角為，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明線面垂直可以利用面面垂直進(jìn)行證明，即若兩個(gè)平面垂直并且其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與兩個(gè)平面的交線操作時(shí)則直線與另一個(gè)平面垂直，即可證明線面垂直；（2）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)表示出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算求出二面角的余弦的表達(dá)式，再利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求出余弦的范圍.

試題解析：（1）證明：在梯形中，因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，所以平面.

（2）由（1）可建立分別以直線為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令，則，

∴，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由得，取，則，

∵是平面的一個(gè)法向量.

∴.

∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值.

∴.