已知函數在
處取得極值
.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設是曲線
上除原點
外的任意一點,過
的中點且垂直于
軸的直線交曲線于點
,試問:是否存在這樣的點
,使得曲線在點
處的切線與
平行?若存在,求出點
的坐標;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設函數,若對于任意
,總存在
,使得
,求實數
的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在,坐標為
;(Ⅲ)
的取值范圍是
.
解析試題分析:(Ⅰ)由題意知,解出
;(Ⅱ)先假設存在這樣的點并設出點的坐標
,然后根據斜率相等列出等式,解得
即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用導數求得
的最小值,然后說明
在
上的最小值不能大于
的最小值,根據這一條件求得
的范圍;2的基本思路是:先利用導數求得
的最小值-2,要使總存在
,使得
成立,說明
在
上有解,利用二次函數知識解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在說明
在
上有解時,不是利用二次函數知識,而是利用換元和分離參數法解答.
試題解析:⑴∵,∴
.又
在
處取得極值
.
∴,即
,解得
,
,經檢驗滿足題意,∴
.
⑵由⑴知.假設存在滿足條件的點
,且
,則
,
又.則由
,得
,∴
,∵
,
∴,得
.故存在滿足條件的點
此時點的坐標為
或
.
⑶解法:
,令
,得
或
.
當變化時,
、
的變化情況如下表:
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