Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意，知的定義域是，

則，

令，則=0，解得x=1或x=.

∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴�。┊�(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；

ⅱ）當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；

ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意；

ⅳ）當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴ ，

綜上所述，的取值范圍是.

（Ⅱ）由題意，得，

∴.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與直線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故．

令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

不妨設(shè)，，且.

要證，需證.即證.

又，所以只需證.

即證：當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，

則.

∴在上單調(diào)遞減.

又，

故當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．