【題目】已知直四棱柱的棱長均相等,且BAD=60,M是側(cè)棱DD1的中點,N是棱C1D1上的點.
(1)求異面直線BD1和AM所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小為,,試確定點N的位置.
【答案】(1);(2)點與點重合.
【解析】
(1)取的中點,連結(jié),,由直棱柱的幾何特征及平面幾何的知識可得兩兩垂直,建立空間直角坐標系,求出、后,利用即可得解;
(2)設(shè),求出平面的一個法向量,平面的一個法向量為,利用列方程即可得解.
的中點,連結(jié),,
因為直四棱柱的棱長均相等,所以底面是菱形,
又,所以△ABD是正三角形,
所以,因為,所以,
在直四棱柱中,平面,平面,
所以,,
分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
設(shè)直四棱柱的棱長均為2,
則,,,,,,
(1)所以,,
設(shè)異面直線與所成角的大小為,則
,
所以異面直線與所成角的余弦值為;
(2)因為,.
設(shè)平面的一個法向量為,
則 即,所以
取,則;
設(shè),則,
設(shè)平面的一個法向量為,
則 即 ,所以
取,則,
則,解得,
所以當二面角的大小為時,點與點重合.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點,,求實數(shù)的取值范圍,并證明.
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【題目】已知函數(shù)的零點構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( )
A. 在上是增函數(shù)B. 其圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)是偶函數(shù)D. 在區(qū)間上的值域為
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【題目】高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周移動支付次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合計 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
(Ⅰ)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”,能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下,認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)?
(Ⅱ)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”,視頻率為概率,在我市所有“移動支付達人”中,隨機抽取4名用戶.
①求抽取的4名用戶中,既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率;
②為了鼓勵男性用戶使用移動支付,對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元,記獎勵總金額為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附公式及表如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線上的點的極坐標分別為.
(1)過O作線段的垂線,垂足為H,求點H的軌跡的直角坐標方程;
(2)求兩點間的距離的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(2017·石家莊一模)祖暅是南北朝時期的偉大數(shù)學(xué)家,5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任何一個平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個幾何體:圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個幾何體為( )
A. ①② B. ①③
C. ②④ D. ①④
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【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位所著,該作完善了珠算口訣,確立了算盤用法,完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變,該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走,提壺去買酒。遇店加一倍,見花喝一斗,三遇店和花,喝光壺中酒。借問此壺中,原有多少酒?”,如圖為該問題的程序框圖,若輸出的值為0,則開始輸入的值為( )
A. B.
C. D.
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【題目】北極冰融是近年來最引人注目的氣候變化現(xiàn)象之一白色冰面融化變成顏色相對較暗的海冰,被稱為“北極變暗”現(xiàn)象,21世紀以來,北極的氣溫變化是全球平均水平的2倍,被稱為“北極放大”現(xiàn)象.如圖為北極年平均海冰面積()與年平均濃度圖.則下列說法正確的是( )
A.北極年海冰面積逐年減少
B.北極年海冰面積減少速度不斷加快
C.北極年海冰面積與年平均二氧化碳濃度大體成負相關(guān)
D.北極年海冰面積與年平均二氧化碳濃度大體成正相關(guān)
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