Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)的圖象與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）在（2）的條件下，對(duì)任意的，均有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，可求出，切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)后即可；

（2）題意說(shuō)明方程只有一解，分離變量后為，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得最大值，同時(shí)研究的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，可得結(jié)論；

（3）令，求出導(dǎo)數(shù)后可得的兩解，分類(lèi)討論求得在上的最小值，由這個(gè)最小值可求得的范圍．

詳解：（1）時(shí)，，，

，，

所以切線(xiàn)方程為，即.

（2）令 ，

令 ，

易知在上為正，遞增；在上為負(fù)，遞減，

，又∵時(shí)，；時(shí)，，

所以結(jié)合圖象可得.

（3）因?yàn)?/span>，所以，

令 ，

由或.

（i）當(dāng)時(shí)，（舍去），所以，

有時(shí)，；時(shí)， 恒成立，

得，所以；

（ii）當(dāng)時(shí)，，

則時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，，

所以，則，

綜上所述，.