Question

【題目】已知函數(shù)（）在處取得極值，其中，，為常數(shù)．

（I）試確定，的值；

（II）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（III）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I），；（II）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（III）.

【解析】

試題函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，（I）函數(shù)在處的極值，即，解方程組即可求得；（II）將代入中，并令，便可求得單調(diào)區(qū)間；（III）由前面所求的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最小值這樣便能將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，解不等式即可求得的取值范圍.

試題解析：（I）由題意知，因此，從而．

又對求導(dǎo)得．

由題意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

當時，，此時為減函數(shù)；

當時，，此時為增函數(shù)．

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也

是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，從而，解得或．

所以的取值范圍為．