如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點，四面體的體積為.

（1）求二面角的正切值；

（2）求直線到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使異面直線與所成的角為，若存在，確定點的位置，若不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)四面體的體積及底面積可求出.，為中點，所以，這樣可得為二面角的平面角. 在中即可求得其正切值.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過點D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角.（3）存在性的問題，一般都通過建系來求.dsgjghmk兩兩垂直，故可分別以為軸建立坐標系.

假設(shè)存在且設(shè)

然后用向量的夾角公式求y,如果能求出滿足條件的y則存在，若不能求出滿足條件的y，則不存在.

試題解析：（1）由四面體的體積為.∴

設(shè)二面角的大小為為中點，

∴同理∴

∴                    3分

（2）由

∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,

∴

由平面幾何知識可知： ，.設(shè)直線與平面所成角為

∴                      8分

（法二：建系）

（3）兩兩垂直，分別以為軸建立坐標系

假設(shè)存在且設(shè)

∴又直線與所成的角為

∴化簡得：

不滿足

∴這樣的點不存在                        12分

考點：1、二面角；2、線與平面所成的角；3、異面直線所成的角.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年莆田四中二模理)（12分）已知，如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，，垂足在上，且，，，，是的中點.

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求點到平面的距離；

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年福建福州一中高三上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面是的中點，.

（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并予以證明；

（2）若四棱錐體積為 ，，求證：平面.

 

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如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點，四面體的體積為.

（1）求過點P，C，B，G四點的球的表面積；

（2）求直線到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使，若存在，確定點的位置，若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面 是的中點，.

（Ⅰ）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，

并予以證明；

（Ⅱ）若四棱錐體積為     

，求證：平面.

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