(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐的底面
為菱形,
平面
,
, E、F分別為
的中點,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
.
(Ⅱ)求平面與平面
所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)先證得.
再證得.由
,證出
平面
,所以,平面
平面
.
(Ⅱ)平面與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.
解析試題分析:(Ⅰ)∵四邊形是菱形,
∴.
在中,
,
,
∴.
∴,即
.
又, ∴
.…………………2分
∵平面
,
平面
,
∴.又∵
,
∴平面
,………………………………………4分
又∵平面
,
平面平面
. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面
,而
平面
,
∴平面平面
………………………7分
∵平面
,∴
.
由(Ⅰ)知,又
∴平面
,又
平面
,
∴平面平面
.…………………………9分
∴平面是平面
與平面
的公垂面.
所以,就是平面
與平面
所成的銳二面角的平面角.……10分
在中,
,即
.……………11分
又,
∴.
所以,平面與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.…………14分
理(Ⅱ)解法二:以為原點,
、
分別為
軸、
軸的正方向,建立空間直角坐標系
,如圖所示.因為
,
,所以,
、
、
、
,…………7分
則,
,
.………8分
由(Ⅰ)知平面
,
故平面的一個法向量為
.……………………9分
設平面
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2, AB=BC,D是PB上一點,且CD
平面PAB
(1)求證:AB平面PCB;
(2)求異面直線AP與BC所成角的大小;
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題12分) 如圖四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側棱與底邊長均為a,
且∠A1AD=∠A1AB=60°。
①求證四棱錐 A1-ABCD為正四棱錐;
②求側棱AA1到截面B1BDD1的距離;
③求側面A1ABB1與截面B1BDD1的銳二面角大小。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面
底面ABCD,且
,若E,F分別為PC,BD的中點.
(1)求證:平面PAD;
(2)求證:平面PDC平面PAD;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,BCD=60
,E是CD的中點,PA
底面ABCD,PA=2.
(1)證明:平面PBE平面PAB;
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角的正弦值。
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