Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，二面角的大小為120°，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，可證得，從而得證；

（2）過(guò)點(diǎn)在中作，與相交于點(diǎn)，可得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面的法向量和平面的一個(gè)法向量為，再求得，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可得解.

（1）證明：連接，并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，

在中，有，

所以，

則平面，平面，

所以平面；

（2）解：過(guò)點(diǎn)在中作，與相交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，則為二面角的平面角，則。

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，，則，，，，

所以

記平面的法向量，

則

令，得到平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

令，得到平面的一個(gè)法向量，

，

設(shè)二面角的平面角為，則，

即二面角的正弦值為.