Question

【題目】在平面直角坐標系中，，是軸上關于原點對稱的兩定點，點滿足，點的軌跡為曲線．

（1）求的方程；

（2）過的直線與交于點，線段的中點為，的中垂線分別與軸、軸交于點，問是否成立？若成立，求出直線的方程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義，可以判斷出點的軌跡是焦點為、，長軸長為4的橢圓，確定出，進而求得，得到橢圓的方程；

（2）該題可以從三個角度去分析，一是設直線方程為，根據(jù)題意列出等式，無解，從而確定不成立；二是設直線方程為，根據(jù)三角形全等去分析，推出矛盾，不成立，三是利用點差法確定出直線的斜率，寫出點斜式方程，列式，推出矛盾，從而不成立，得到結果.

（1）因為，

所以點的軌跡是焦點為、，長軸長為4的橢圓，

設橢圓方程為，

所以，所以，

所以的方程為．

（2）解法一：

直線的斜率必存在且不為0，設方程為，

由消去整理得

，

，

設，則，

故點的橫坐標為，所以，

設，因為，所以，

解得，所以，

要使，只需，

即，

整理得，因為，所以此方程無實根，

所以不成立．

解法二：

直線的斜率必存在且不為0，設方程為，

由消去整理得，

，

設，則，

故點的縱坐標為，

所以，

因為直線的斜率為，

所以直線的方程為，

即．

令，則，

所以點的縱坐標為，即，

所以，

因為，所以，

要使得，則必須，

因為上式不成立，所以不成立．

解法三：

設，因為在曲線上，且

所以兩式相減并整理得，

所以直線的斜率為，

所以的方程為，

令，得，所以點的縱坐標，

所以，

又因為，所以，

要使得，則必須，

因為上式不成立，所以不成立．