給定拋物線y2＝2px(p＞0)，在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使得對(duì)于拋物線上任意一條過(guò)K的弦PQ，均有＋為定值?若存在，求出點(diǎn)K及定值；若不存在，說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：設(shè)存在點(diǎn)K(x0，0)滿足題意，

　　將直線PQ的方程x＝(α為傾斜角，t為參數(shù))代入y2＝2px得，t2sin2α－(2pCOSα)t－2px0＝0．

　　令t1、t2為方程兩根，則t1＋t2＝，t1t2＝

　　∴＝

要使不隨α變化而改變，只要取x0＝p即可·此時(shí)＝＝為定值．∴點(diǎn)k存在，坐標(biāo)為(p，0)．

　　分析：由題中出現(xiàn)的｜KP｜與｜KQ｜，可聯(lián)想直線的參數(shù)方程．

　　點(diǎn)評(píng)：利用直線參數(shù)方程探索問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，f(α)＝為定值是否可能．為便于解決，通過(guò)觀察x0＝p時(shí)符合要求．此題也可由f＝f算出x0＝p，再檢驗(yàn)x0＝p時(shí)f(x)是否為定值．

　　(2)此題若改為：“在橢圓＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸上是否存在一點(diǎn)K，使得對(duì)于橢圓任意一條過(guò)點(diǎn)K的弦PQ，均有為定值”，則亦存在點(diǎn)K符合要求，大家不妨試一試．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，并且與這條拋物線相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)．求證：

(1)4x1x2＝p2；

(2)對(duì)于這條拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：河北省唐山一中2009屆高三上學(xué)期調(diào)研考試(一)數(shù)學(xué)試題(文科) 題型：044

直線l過(guò)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)并且與拋物線相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：4x1x2＝p2；

(Ⅱ)求證：對(duì)于這拋物線的任何給定一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，過(guò)拋物線y2＝2PX(P>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M1、N1   

 

(Ⅰ)求證：FM1⊥FN1:

(Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為，試判斷S22＝4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆河北省唐山市高二第一學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(12分) 已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)．求證：(1)x1x2為定值；(2)＋為定值．

 

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