Question

【題目】已知集合，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，存在，使成立，則稱集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集” .給出下列四個(gè)集合：

① ；

②；

③ ；

④.

其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（ ）.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意可得：集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿足：曲線上過(guò)任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直，對(duì)①、②、③、④逐個(gè)分析即可.

由題意知，若集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則對(duì)于任意，存在，使成立，因此，

①，其圖象向左向右和軸無(wú)限接近，向上和軸無(wú)限接近，據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，在圖象上任取一點(diǎn)，連，過(guò)原點(diǎn)作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點(diǎn)，使得成立，故是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；

②，（），取，則不存在點(diǎn)（），滿足，因此不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；

③，其圖象過(guò)點(diǎn)，且向右向上無(wú)限延展，向左向下無(wú)限延展，據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過(guò)原點(diǎn)作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點(diǎn)，使得成立，故是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；

④，在圖象上任取一點(diǎn)，連，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，因?yàn)?/span>的圖象沿軸向左向右無(wú)限延展，且與軸相切，因此直線總會(huì)與的圖象相交，故是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，

綜上可得：只有①③④是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．

故選：C