【題目】如圖,已知三棱柱中,平面平面ABC,.

1)證明:

2)設,,求二面角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)要證明,只需證明平面即可;

2)取的中點為M,以C為原點,CA,CB,CM為正方向建立空間直角坐標系,求出平面與平面的法向量,利用向量的夾角公式計算即可.

1)證明:連結.

,四邊形為菱形,∴.

∵平面平面ABC,平面平面

平面ABC,

平面.

又∵,∴平面,∴.

,

平面,而平面,

.

2)取的中點為M,連結CM.

,四邊形為菱形,,

,.

又∵,以C為原點,CA,CBCM為正方向建立空間直角坐標系,如圖.

,,

,,,,.

由(1)知,平面的一個法向量為.

設平面的法向量為,

并且

.

,得,

.

,

∴二面角的正弦值為.

【點晴】

本題主要考查線線垂直的證明,坐標法求二面角的大小,考查學生空間想象能力,數(shù)學運算能力,是一道中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某工廠生產(chǎn)了一批零件,從中隨機抽取100個作為樣本,測出它們的長度(單位:厘米),按數(shù)據(jù)分成,5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.以這100個零件的長度在各組的頻率代替整批零件長度在該組的概率.

1)估計該工廠生產(chǎn)的這批零件長度的平均值(同一組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);

2)若用分層抽樣的方式從第1組和第5組中抽取5個零件,再從這5個零件中隨機抽取2個,求抽取的零件中恰有1個是第1組的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】哈爾濱市第三中學校響應教育部門疫情期間停課不停學的號召,實施網(wǎng)絡授課,為檢驗學生上網(wǎng)課的效果,高三學年進行了一次網(wǎng)絡模擬考試.全學年共1500人,現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學成績,繪制成頻率分布直方圖(如下圖所示).已知這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6.

1)根據(jù)頻率分布直方圖,求a,b的值,并估計抽取的100名同學數(shù)學成績的中位數(shù);

2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從分數(shù)在,的兩組同學中隨機抽取6名同學,從這6名同學中再任選2名同學作為網(wǎng)絡課堂學習優(yōu)秀代表發(fā)言,求這2名同學的分數(shù)不在同一組內的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】

大學生是國家的未來,代表著國家可持續(xù)發(fā)展的實力,能夠促進國家綜合實力的提高.據(jù)統(tǒng)計,2016年至2020年我國高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位:萬人)的數(shù)據(jù)如下表:

年份

2016

2017

2018

2019

2020

年份代號x

16

17

18

19

20

高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位:萬人)

765

795

820

834

874

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算yx的相關系數(shù)r,并說明yx的線性相關性的強弱.

(已知:,則認為yx線性相關性很強;,則認為yx線性相關性一般;,則認為yx線性相關性較弱)

2)求y關于x的線性回歸方程,并預測2022年我國高校畢業(yè)生的人數(shù)(結果取整數(shù)).

參考公式和數(shù)據(jù):,,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在極坐標系中,點P的坐標是,曲線C的方程為.以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,斜率為的直線l經(jīng)過點P.

1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;

2)若直線l和曲線C相交于兩點A,B,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】[選修4―4:坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.

(1)若a=1,求Cl的交點坐標;

(2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知動圓經(jīng)過點,且動圓軸截得的弦長為4,記圓心的軌跡為曲線.

1)求曲線的標準方程;

2)過軸下方一點向曲線作切線,切點記作、,直線交曲線于點,若直線的斜率乘積為,點在以為直徑的圓上,求點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況,采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人,其中男生560人,從全校學生中抽取了容量為n的樣本,得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

超過1小時

不超過1小時

20

8

12

m

1)求m,n

2)能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關?

3)從該校學生中隨機調查60名學生,一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù)記為X,以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,求X的分布列和數(shù)學期望.

附:

PK2k

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍,縱坐標坐標都伸長為原來的倍,得到曲線,在極坐標系(與直角坐標系取相同的單位長度,且以原點為極點,以軸非負半軸為極軸)中,直線的極坐標方程為

(1)求直線和曲線的直角坐標方程;

(2)設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最大值.

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