【題目】如圖，已知三棱柱中，平面平面ABC，，.

（1）證明：；

（2）設，，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；

（2）取的中點為M，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式計算即可.

（1）證明：連結.

∵，四邊形為菱形，∴.

∵平面平面ABC，平面平面，

平面ABC，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴.

（2）取的中點為M，連結CM.

∵，四邊形為菱形，，

∴，.

又∵，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，如圖.

設，，，，

∴，，，，.

由（1）知，平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，

則并且，

∴.

令，得，，

即.

∴，

∴二面角的正弦值為.

【點晴】

本題主要考查線線垂直的證明，坐標法求二面角的大小，考查學生空間想象能力，數(shù)學運算能力，是一道中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)了一批零件，從中隨機抽取100個作為樣本，測出它們的長度（單位：厘米），按數(shù)據(jù)分成，，，，5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．以這100個零件的長度在各組的頻率代替整批零件長度在該組的概率．

（1）估計該工廠生產(chǎn)的這批零件長度的平均值（同一組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（2）若用分層抽樣的方式從第1組和第5組中抽取5個零件，再從這5個零件中隨機抽取2個，求抽取的零件中恰有1個是第1組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】哈爾濱市第三中學校響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，實施網(wǎng)絡授課，為檢驗學生上網(wǎng)課的效果，高三學年進行了一次網(wǎng)絡模擬考試.全學年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計抽取的100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分數(shù)在，的兩組同學中隨機抽取6名同學，從這6名同學中再任選2名同學作為“網(wǎng)絡課堂學習優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學的分數(shù)不在同一組內的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

大學生是國家的未來，代表著國家可持續(xù)發(fā)展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據(jù)統(tǒng)計，2016年至2020年我國高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2016

2017

2018

2019

2020

年份代號x

16

17

18

19

20

高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)

765

795

820

834

874

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性的強弱.

(已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較弱)

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業(yè)生的人數(shù)(結果取整數(shù)).

參考公式和數(shù)據(jù)：，，，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，點P的坐標是，曲線C的方程為.以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為的直線l經(jīng)過點P.

（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線l和曲線C相交于兩點A，B，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.

（1）若a=1，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標準方程；

（2）過軸下方一點向曲線作切線，切點記作、，直線交曲線于點，若直線、的斜率乘積為，點在以為直徑的圓上，求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

超過1小時

不超過1小時

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？

（3）從該校學生中隨機調查60名學生，一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù)記為X，以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．

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