Question

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為10，則a2+b2的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y= ，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y= 的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y= ，由圖象可知當(dāng)y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由 ，解得 ，即A（4，6）．
此時(shí)z=4a+6b=10，
即2a+3b﹣5=0，
即（a，b）在直線2x+3y﹣5=0上，
a2+b2的幾何意義為直線上點(diǎn)到圓的距離的平方，
則圓心到直線的距離d= ，
則a2+b2的最小值為d2= ，
故答案為： ．

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求 的最小值．