Question

【題目】 已知函數(shù)（a為常數(shù)）.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和．（2）

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域，再求導函數(shù)，進而求定義區(qū)間上導函數(shù)的零點，最后列表分析導函數(shù)符號并確定單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間為，，減區(qū)間為和．（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： ，再利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定當時有最大值為，即得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

當時， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和．

（Ⅱ）當時， 恒成立，

令，

問題轉(zhuǎn)換為時， ．

，

①當時， ，

在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

②當時，令解得， ，

此時在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

③當時，令解得， ，

當時， ，

而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

令， ，

則，

在上單調(diào)遞增，

又，

當時， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當時， ，

而此時在上單調(diào)遞減，

，符合題意．

綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．

（也可用洛必達法則）