Question

【題目】如圖，在正四棱錐中，底邊，側(cè)棱， 為側(cè)棱上的點(diǎn).

（1）若平面，求二面角的余弦值的大小；

（2）若，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， .

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題意可建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)兩平面法向量夾角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)使得平面，然后根據(jù)題意求得平面的法向量，由，可得，從而可得當(dāng)時(shí)， 平面.

試題解析：

（1）如圖，連接，設(shè)交于，由題意知平面，又，故兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵， ，∴.

（1）由題意得， ， ，

∴， ，

∵平面，

∴平面的一個(gè)法向量，

又平面的一個(gè)法向量，

∴，

由圖形知二面角為銳角，

∴所求二面角的余弦值為.

（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)使得平面．在上取點(diǎn)，連接，

設(shè)平面的法向量為，

由題意得，

又點(diǎn)， ， ，

，

由，得，

令，則，

設(shè)，

則，

由平面，可得，

解得，

∴當(dāng)時(shí)， 平面.