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【題目】已知點P(1,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)斜率為﹣1的直線與C交于異于點P的兩個不同的點M,N,若直線PM,PN分別與x軸交于A,B兩點,求證:△PAB為等腰三角形.

【答案】(Ⅰ) y2=4x; (Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ) 將點P(1,2)代入拋物線方程可得結果；

(Ⅱ) 設直線MN的方程為y=﹣x+t,聯立拋物線方程y2=4x，根據韋達定理和斜率公式運算可得.

(Ⅰ)將點P(1,2)代入拋物線方程可得22=2p1,∴p=2,所以拋物線方程為y2=4x;

(Ⅱ)證明:由題意設直線MN的方程為y=﹣x+t,聯立拋物線方程y2=4x,可得x2﹣(2t+4)x+t2=0,

設M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=2t+4,x1x2=t2,

由kPM+kPN2+(t﹣3)()

=﹣2+(t﹣3)2+2(t﹣3)0,

則∠PAB=∠PBA,即△PAB為等腰三角形.

練習冊系列答案
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