已知數列
的前
項和
（為正整數）
（1）令
，求證數列
是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）令
，
，試比較
與
的大小，并予以證明
（1）見解析；（2）見解析
解析試題分析：（1）由題意數列
的前項和表達式，先根據
求數列的通項
的遞推關系式，再求數列
是等差數列，根據等差數列的通項求數列的通項；（2）由（1）所求數列的通項先得
，再利用錯位相減法求
得表達式，再把與
作差比較大小，可利用數學歸納法證明
試題解析：（I）在
中，令n=1，可得
，即
當
時，
，
又
數列
是首項和公差均為1的等差數列
于是
(II)由（I）得
，所以
由①-②得
于是確定
的大小關系等價于比較
的大小
由
可猜想當
證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。
（2）假設
時，
，
所以當時猜想成立，
綜合（1）（2）可知，對一切
的正整數，都有
證法2：
當時
，
綜上所述，當
時，
；當
時
考點：1、數列的通項及前項和；2、錯位相減法求和；3、作差比較法
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
前
和
（1）求證：數列是等差數列
（2）求數列的通項公式
（3）設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（文科只做（1）（2）問，理科全做）
設
是函數
圖象上任意兩點，且
，已知點
的橫坐標為
，且有
，其中
且n≥2，
（1） 求點的縱坐標值；
（2） 求
，
，
及
；
（3）已知
，其中，且
為數列
的前n項和，若
對一切都成立，試求λ的最小正整數值。
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的前
和為
,且
.等比數列
滿足：
.
，求數列
的前
項的和
；
.
，滿足
，
，
的值；
的通項公式
，并用數學歸納法證明；
，設
，記
，求
．
滿足
，
.
，求數列
的前
項和
.
的首項為
，公差為
，且不等式
的解集為
．
；
，求數列
前
項和
．
，點
在函數
的圖象上，其中
是等比數列，并求數列
的通項公式；
，求數列
的前
項和
．
的各項均為正數，
，前
項和為
，等比數列
中，
，
，
是公比為64的等比數列．
與
； 
.