(12分)已知函數(shù),
,設(shè)
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若以圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立,求實數(shù)的最小值.
(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)
的圖象與
的圖
象恰好有四個不同的交點?若存在,求出的取值范圍,若不存在,說明理由.
(1)
(2).(3)
解析試題分析:(1)由題意可知然后直接求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)大(小)于零求其單調(diào)增(減)區(qū)間即可.
(2)圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立,其實質(zhì)是恒成立.即
(3)解本小題的關(guān)鍵是的圖象與
的圖象恰有四個不同交點,即
有四個不同的根,
也就是有四個不同的根,然后再構(gòu)造函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)研究G(x)的單調(diào)區(qū)間,極值,畫出草圖,從圖像上觀察直線y=m在什么范圍內(nèi)有四個不同的交點即可.
(1)
由.
(2) 當
.
(3)若的圖象與
的圖象恰有四個不同交點,
即有四個不同的根,亦即
有四個不同的根.
令,
則.
當變化時
的變化情況如下表:
![]() | ![]() | -1 | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,![]() |
![]() | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
![]() | ![]() ![]()
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