【題目】如圖所示，和所在平面互相垂直，且分別為的中點(diǎn)．

（1）求證:；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作垂直的直線，并將其作為軸，所在直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)作垂直的直線，并將其作為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算，即可證得；（2）求得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，利用法向量所成的角，即可求解二面角的大�。�

試題解析：（1）證明：由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作垂直的直線，并將其作為軸，所在直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)作垂直的直線，并將其作為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易得，因而，

因此，從而．

（2）在圖中，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，

又，得其中一個(gè)，

設(shè)二面角的大小為，且由題知為銳角，

則，因此，

即所求二面角正弦值為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）如是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值并討論的單調(diào)性；

（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（注：已知常數(shù)滿足）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

（1）求異面直線與所成角的大�。�

（2）若平面內(nèi)有一經(jīng)過(guò)點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說(shuō)明理由；

（3）在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動(dòng)點(diǎn)，其中為曲線和的交點(diǎn).以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在曲線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求圓半徑的范圍及的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓與軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求線段的垂直平分線在軸上截距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有．當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直線，且和 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

①證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

②的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在四棱錐中，底面是正方形，．

（1）如圖2，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證: 平面；

（2）已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)你在網(wǎng)格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖（不需要標(biāo)字母），并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市要建成宜商、宜居的國(guó)際化新城，該城市的東城區(qū)、西城區(qū)分別引進(jìn)8個(gè)廠家，現(xiàn)對(duì)兩個(gè)區(qū)域的16個(gè)廠家進(jìn)行評(píng)估，綜合得分情況如莖葉圖所示.

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)區(qū)域廠家的平均分較高；

（2）規(guī)定85分以上（含85分）為優(yōu)秀廠家，若從該兩個(gè)區(qū)域各選一個(gè)優(yōu)秀廠家，求得分差距不超過(guò)5分的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數(shù)，．

（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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